sacra_sak_08 さんへのコメント返答
sacra_sak_08 さんのコメントに対する返答
あれ，f'(g(x)) g'(x) じゃないですか? ただの脱字かとは思いますが＞＜ (2006/10/15 の分転載)
現在、教科書(数研出版、pp143-144参照)を使用して積分の学習をしています。
積分記号∫を使用して表現すれば良かったのかもしれない。
f「'」(g(x))g'(x) における「'」は必要ないです。
∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du ただし、u = g(x)---------☆
被積分関数が f(g(x))g'(x) の形をしている場合、
g(x) を u で置き換え、形式的に g'(x)dx を du で置き換えればよい。（教科書より）
それでこれらを踏まえて次のように述べた訳です。
■被積分関数のある纏まりを u とおいたときに、f(u)u' の形になることを見抜くこと！■
確かにこれだけでは解りにくいですね！
ここから別の表現で書いてみます。
∫f(x)dx = ∫f(g(t))g'(t)dt ただし、x = g'(t)---------★
だから、これは「合成関数の微分法」に対応するのではなかろうか。
Ｆ(x) = ∫f(x)dx・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・①
ここで、x が微分可能な t の関数 g(t) とする。
このとき、Ｆ(x) = Ｆ(g(t)) で、これは t の関数。
そこで、さきほどの「合成関数の微分法」にしたがって①の両辺を t で微分すると
d/dtＦ(x) = (d/dxＦ(x))dx/dt
= f(x)g'(t)
= f(g(t))g'(t)
ここで、この両辺を t で積分してみると
Ｆ(x) = ∫f(g(t)g'(t) dt
右辺の g'(t) は dx/dt のことであるから、
∫f(x)dx = ∫f(x)dx/dt・dt
形式的に、dx = g'(t)dt
「x についての積分」が簡単に「t についての積分」におきかわり、その結果が t の式で求められる。
∫f(x)dx = ∫f(g(t))g'(t)dt ただし、x = g'(t)---------★
★における積分の公式には、２通りの使い方があり、★を（左辺の形）→（右辺の形）に見る方法
さらに（右辺の形）→（左辺の形）に見る方法[☆]でこの場合のことについて■〜■として述べた。
すこし見ずらいかもしれない。
適当な例題を書いて説明したほうが解りやすかったかもしれない。
sacra_sak_08 さんのブログにある「積分公式まとめ」みたいに書くことができないため、この方法で説明してみました。//
「積分公式まとめ」は、とても見やすくいいですね。
