積分の評価

\pm\phi=h\sqrt{a}\Bigint \frac{dr}{r\bigl(-r^2+2ar-a^2(1-e^2))^{\frac{1}{2}}


ニュートンにとっては、『子供の遊び！』・・・本文[「プリンキピア」講義pp162]より引用。




答え

\phi=\frac{\pi}{2} + \arcsin\frac{r-a(1-e^2)}{re}


ただし、初期条件は、

t=0 のとき、r=a(1-e) および \phi=0

すると、

\frac{a(1-e^2)}{r}=1+ e\cos\phi

これより描かれる軌道は楕円であることがわかる。

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ニュートンにとってはいとも簡単に出来るということか・・・。

第(1)式 → 第(2)式 への過程をなんとかしてみようと思う。(後日？)


「数学公式・数表ハンドブック」に掲載されている

\sqrt{a^2-x^2}を含む積分のひとつ、Ｎo.１４-２３７に該当。



これらはエネルギー積分から始めている。


一方、「万有引力を受けて運動する質点の軌道の形」(道標pp63)として解いているのもある。
この中に第(1)式の解き方のヒントが掲載されている。
こちらはかなり書き方が精錬され、式の計算過程の省略が最小限になっているから、わかりやすい。
（前者はいきなり、答えとなるし、新・物理入門はすこしまわりくどい）