積分の評価-２

\Bigint \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}　において


x=a\cos\theta とおく。


ただし、 a>0, -\frac{\pi}{2}\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}


dx=-a\sin\theta{d\theta}


\Bigint \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \Bigint \frac{-a\sin\theta{d\theta}}{\sqrt{a^2-a^2\cos^2\theta}}


= \Bigint \frac{-a\sin\theta{d\theta}}{\sqrt{a^2(1-\cos^2\theta)}}


= \Bigint \frac{-a\sin\theta{d\theta}}{\sqrt{a^2\sin^2\theta}}


= \Bigint \frac{-a\sin\theta{d\theta}}{a\sin\theta}


= -\Bigint d\theta


= -(\theta + C) 　　　ただし、Ｃは積分定数


= -(\arccos{\frac{x}{a}} + C)


= \frac{\pi}{2} + \arcsin{\frac{x}{a}}


◆ポイント◆

①赤チャート数Ⅲ、主題１２３および主題１３２を参照。
試練１９６の問題の中には、むずかしいのがありますね。

②まず最初に考えなければ、ならないことは根号をはずすこと。

③根号内が２次式のみの場合は、上記の方法で行なう。
x=a\cos\theta あるいは x=a\sin\theta のいずれかに置き換える。どちらでも可。




今回の場合、根号内に１次式があるから、これをなんとかしなければならない。
方法としては、根号の中を平方完成させる。


【攻略の方法】

変数の一次変換によって、２次式から１次の項を消去して、ａの正負にしたがって平方根を

\sqrt{a^2-x^2}, \sqrt{x^2+a^2}, \sqrt{x^2-a^2}

のいずれかの形にすることができたら、しめたもの。 →　あとは事務的処理となる。




★第(1)式の場合★
いままでの方法と比較すると、今の段階で２つほど問題がある。

(一) 平方根の外に「r」があること。

(二) 答えの数式には、「h」がないこと。

この２点に関しては調査中。



□メモ書き□
「e」は楕円の離心率(eccentricity)、 0< e <1
例：地球の軌道においては、e = 0.02

　


初期条件を考慮したときの計算過程

\phi - \frac{\pi}{2} = \arcsin\frac{r-a(1-e^2)}{re}


\sin{(\phi- \frac{\pi}{2})} = \frac{r-a(1-e^2)}{re}


-\cos\phi = \frac{r-a(1-e^2)}{re}


-re\cos\phi = r-a(1-e^2)


\frac{a(1-e^2)}{r} = 1+ e\cos\phi 　　　 ■